狄利克雷函数是广义的函数.(Dirac delta function也 是广义的函数.)

狄利克雷函数:

D(x)=lim(n→∞){lim(m→∞)[cosπm!x]^n}

(资料图)

也可以简单地表示分段函数的形式D(x) = 0 (x是无理数) 或1 (x是有理数)

分析性质

1、处处不连续

2、处处不可导

3、在任何区间内黎曼不可积

4、函数是可测函数

5、在单位区间 [0,1] 上勒贝格可积,且勒贝格积分值为 0（且任意区间以及R上甚至任何R的可测子集上（区间不论开闭和是否有限）上的勒贝格积分值为0 ）

对性质5的说明：虽然m(R/Q)=+∞,但在R/Q上有f(x)=0,符合可积条件（说明中Q为有理数集）.

谷歌搜索 wolfram Dirichlet Function, 有修改狄利克雷函数图像.

本文到此讲解完毕了，希望对大家有帮助。